矩阵分析学习笔记2：多项式矩阵与Jordan标准型

Chapter2 $\lambda$ 矩阵与Jordan标准型

为了解决数域矩阵相似最简型的问题，我们引入 $\lambda$ 矩阵

$\lambda$ 矩阵及其Smith型

$\lambda$ 矩阵

以多项式为元素的矩阵

• $\mathbb{F}[\lambda]$ ：表示以数域 $\mathbb{F}$ 中的元素为系数的多项式集合
• $(\mathbb{F}[\lambda])^{m\times n}=\{[a_{ij}(\lambda)]_{m\times n}|a_{ij}(\lambda)\in \mathbb{F}[\lambda]\}$ （类比 $\mathbb{F}^{m\times n}$）
• $\lambda$ 矩阵： $\boldsymbol{A}(\lambda)=[a_{ij}(\lambda)]_{m\times n},\ a_{ij}(\lambda)\in\mathbb{F}[\lambda],\ \boldsymbol{A}(\lambda)\in(\mathbb{F}[\lambda])^{m\times n}$
• 从映射观点看 $\lambda$ 矩阵：$\mathbb{F}\rightarrow\mathbb{F}^{m\times n},\ \lambda\mapsto\boldsymbol{A}(\lambda)$
• 从矩阵多项式观点看 $\lambda$ 矩阵：$\boldsymbol{A}(\lambda) = A_0+A_1\lambda+A_2\lambda^2+\cdots+$ ，即以矩阵为系数的多项式

$\lambda$ 矩阵的秩

• 不为零多项式的子式的最大阶数 （以多项式为元素算行列式）

单位模阵（幺模阵）

• 对 $\boldsymbol{U}(\lambda)\in(\mathbb{F}[\lambda])^{n\times n}$ ，若 $\exists\ \boldsymbol{V}(\lambda)\in(\mathbb{F}[\lambda])^{n\times n},\ s.t.\ \boldsymbol{U}(\lambda)\boldsymbol{V}(\lambda)=\boldsymbol{V}(\lambda)\boldsymbol{U}(\lambda)=\boldsymbol{I}_n$ ，则称 $\boldsymbol{V}(\lambda)$ 为 $\boldsymbol{U}(\lambda)$ 的单位模阵。

单位模阵：逆矩阵，且必须是多项式矩阵，因为单纯逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^*$ 不一定是多项式矩阵

多项式矩阵相对于前面所谈论的数值矩阵，主要不同就在于除法运算上，即多项式相除结果不一定还是多项式。用抽象数学的概念，数值矩阵谈论是域上的矩阵，而多项式矩阵谈论的是环上的矩阵

• $\boldsymbol{U}(\lambda)\in(\mathbb{F}[\lambda])^{n\times n}$ 为单位模阵 $\Leftrightarrow |\boldsymbol{U}(\lambda)|$ 是非零常值多项式（即 $a_0\neq 0$ 的零次多项式）

下面给出证明：

$\Leftarrow$ ：显然

$\Rightarrow$ ：存在多项式矩阵 $\boldsymbol{V}(\lambda)$ ，使得 $\boldsymbol{U}(\lambda)\boldsymbol{V}(\lambda)=\boldsymbol{I}_n\Rightarrow|\boldsymbol{U}(\lambda)||\boldsymbol{V}(\lambda)|=1\Rightarrow f(\lambda)g(\lambda)=1$ ，两个多项式相乘等于1，这两个多项式只能是 $a_0\neq 0$ 的零次多项式，否则相乘一定有变量在

$\lambda$ 矩阵的初等行（列）变换

以初等行变换为例 $\Leftrightarrow$ 左乘一个相应的初等矩阵：

• 某两行互换 $\Leftrightarrow$ eg. $\begin{bmatrix} 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

• 某行乘以非零常数 $\Leftrightarrow$ eg. $\begin{bmatrix} c&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

  注：不是乘以非零多项式！因为乘以多项式是不可逆的，即对应乘上的矩阵没有单位模阵

• 某行乘以一个多项式再加到另一行上 $\Leftrightarrow$ eg. $\begin{bmatrix}1&0&0\\f(\lambda)&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

$\lambda$ 矩阵经左右初等变换化简

• $\lambda$ 矩阵的等价：经初等行列变换可以互相转化的两个 $\lambda$ 矩阵等价，记作 $\boldsymbol{A}(\lambda) \sim \boldsymbol{B}(\lambda) $

• 【用初等行变换为矩阵左上角降次】设 $\boldsymbol{A}(\lambda) =[a_{ij}(\lambda)]_{m\times n},\ a_{11}(\lambda)\neq0$ ， 且至少有一个元素不能被 $a_{11}(\lambda)$ 整除（$\Leftrightarrow a_{11}(\lambda)$ 不为非零常值多项式 ），则有 $\boldsymbol{A}(\lambda) \sim\boldsymbol{B}(\lambda) $ 且 $b_{11}(\lambda)\neq0,\ \partial(b_{11}(\lambda))<\partial(a_{11}(\lambda))$ （$\partial(多项式)$ 表示该多项式的次数）

  下面给出证明概要：

  • 同行中有一个元素 $a_{1j}(\lambda)$ 不能被 $a_{11}(\lambda)$ 整除，即 $a_{1j}(\lambda)=a_{11}(\lambda)q(\lambda)+r(\lambda),\ 且\ \partial(r(\lambda))<\partial(a(\lambda))$ ，所以，将第一列乘以 $-q(\lambda)$ 加到第 $j$ 列后交换第一列与第 $j$ 列，此时 $a_{11}(\lambda)’=r(\lambda),\partial(a_{11}(\lambda)’)<\partial(a_{11}(\lambda))$ ，从而实现降次

  • 同列中有一个元素 $a_{i1}(\lambda)$ 不能被 $a_{11}(\lambda)$ 整除，同理

  • 同行同列都能被整除，但有 $a_{ij}(\lambda)$ 不能被 $a_{11}(\lambda)$ 整除。

    首先可以通过一系列行列变换把第一列、第一行除了 $a_{11}(\lambda)$ 外都化为0，同时保证变换后的 $a_{ij}(\lambda)’$ 仍旧不能被 $a_{11}(\lambda)$ 整除（不能被整除的数加上除数的倍数依然不能被整除），将变换后的第 $j$ 行加到第1行，就回到第一种情况了

Smith 型 $\lambda$ 矩阵

设：

$$\boldsymbol{A}(\lambda)\sim \boldsymbol{B}(\lambda)= \left[ \begin{array}{ccc|ccc} d_1({\lambda}) & & & 0 & \cdots & 0\\ & \ddots & &\vdots &\ddots &\vdots \\ & & d_r(\lambda) &0 &\cdots &0 \\ \hline 0 & \cdots & 0 &0 &\cdots &0 \\ \vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0 & \cdots & 0 &0 &\cdots &0 \end{array} \right]$$

其中 $r=\text{rank}(\boldsymbol{A}(\lambda))$ ，$d_i(\lambda)$ 为非零多项式，且 $d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)$ （$f(\lambda)|g(\lambda)$ 表示 $f$ 整除 $g$ ），则称 $\boldsymbol{B}(\lambda)$ 为 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的 Smith标准型 。

下面给出证明：

• 存在性

  若为零矩阵，则显然；若为非零矩阵，必存在非零多项式，通过行列变换将次数最低的非零多项式移到 $a_{11}(\lambda)$ ，会出现以下两种情况：

  • 矩阵中所有元素都能被 $a_{11}(\lambda)$ 整除
  • 存在若干元素不能被 $a_{11}(\lambda)$ 整除

  对于第二种情况，【用初等行变换为左上角降次】，降次必然是有限的，不能再降次的时候，也就是矩阵中的所有元素都能被 $a_{11}(\lambda)$ 整除的时候 ，进而同行同列的元素都能化成0

  对右下子矩阵进行相同的操作，以此类推，最终得到 Smith标准型

• 唯一性

  约定 $d_i(\lambda)$ 都是首1多项式，即最高次数系数为1

  • $\lambda$ 矩阵的 $k$ 阶行列式因子 ：$\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的所有 $k$ 阶子式的最高公因式

  • 初等变换不改变 $k$ 阶行列式因子

    下面给出证明：

    设 $\mathscr{A}=\{\boldsymbol{A}\ 的\ k\ 阶子式\},\mathscr{B}=\{\boldsymbol{B}\ 的\ k\ 阶子式\}$ ，只需证 $\mathscr{A},\mathscr{B}$ 的最高公因式相同。

    任取 $f(\lambda)\in\mathscr{B}$ ，考察它与 $\mathscr{A}$ 中多项式的关系，由于初等变换是三种基本变换的组合，所以只需分别对三种基本变换进行讨论即可：

    1. 某两行互换：只影响行列式的符号，因为约定了所有多项式都是首1多项式，所以这种变换对子式集合无影响，即 $\mathscr{A}=\mathscr{B}$ ，那么必有 $f(\lambda)\in\mathscr{A}$

    2. 某行乘以一个非零常数：同样，因为约定了所有多项式都是首1多项式，所以也不会有影响，即 $\mathscr{A}=\mathscr{B}$ ，那么必有 $f(\lambda)\in\mathscr{A}$

    3. 某行乘以一个多项式再加到另一行上。假设是第 $i$ 行乘以 $h(\lambda)$ 加到第 $j$ 行。那么：

       • 如果 $f(\lambda)$ 没有取到第 $j$ 行，那么该子式不发生变化，即 $f(\lambda)\in\mathscr{A}$ ；

       • 如果 $f(\lambda)$ 取到了第 $j$ 行：

         • 如果同时取到了第 $i$ 行，那么该子式不发生变化，即 $f(\lambda)\in\mathscr{A}$

         • 如果没有取到第 $i$ 行，显然 $f(\lambda)\notin\mathscr{A}$ ，但是可以将它对应的行列式拆分：

           $$\left| \begin{array}{c} \boldsymbol{a}_p \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_j+\boldsymbol{a_i}\cdot h(\lambda) \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_{p+k-1} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c} \boldsymbol{a}_p \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_j \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_{p+k-1} \end{array} \right|+ \left| \begin{array}{c} \boldsymbol{a}_p \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_i} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_{p+k-1} \end{array} \right|\cdot h(\lambda)$$

           即：$f(\lambda)=g(\lambda)+w(\lambda)\cdot h(\lambda)$，其中 $g(\lambda),w(\lambda)\in\mathscr{A}$ ，所以 $\mathscr{A}$ 的公因式必整除 $f(\lambda)$

    综上，$\mathscr{A}$ 的公因式必能整除 $\mathscr{B}$ 中的所有子式，由于初等变换可逆知，$\mathscr{B}$ 的公因式也必能整除 $\mathscr{A}$ 中的所有子式，从而二者的最高公因式相同

  • 不变因子 $d_{i}(\lambda)$

    记 $k$ 阶行列式因子为 $D_k(\lambda)$ ，初等变换不改变行列式因子，所以：

    $$d_1(\lambda) = D_1(\lambda),\ d_i(\lambda)=D_i(\lambda)/D_{i-1}(\lambda)$$

    因此，称 $d_i(\lambda)$ 为不变因子（行列式因子唯一，所以 $d_i(\lambda)$ 一定唯一）

两种方法求Smith型

• 初等变换：找次数最低项，要么能整除，要么能降次（带余除法）

  例：

  $$\begin{align} \begin{bmatrix}\lambda(\lambda+1)&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&(\lambda+1)^2\end{bmatrix} &\xrightarrow[]{最低次放左上角} &\begin{bmatrix}\lambda&0&0\\0&\lambda(\lambda+1)&0\\0&0&(\lambda+1)^2\end{bmatrix} \notag \\ &\xrightarrow[加到第一行]{不能整除的某行} &\begin{bmatrix}\lambda&0&(\lambda+1)^2\\0&\lambda(\lambda+1)&0\\0&0&(\lambda+1)^2\end{bmatrix} \notag \\ &\xrightarrow[]{带余除法降次} &\begin{bmatrix}\lambda&0&1\\0&\lambda(\lambda+1)&0\\0&0&(\lambda+1)^2\end{bmatrix} \notag \\ &\xrightarrow[重复带余除法直到能整除]{最低次换到左上角} &\begin{bmatrix}1&0&\lambda\\0&\lambda(\lambda+1)&0\\(\lambda+1)^2&0&0\end{bmatrix} \notag \\ &\xrightarrow[]{同行同列化零} &\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&\lambda(\lambda+1)&0\\ 0&0&-\lambda(\lambda+1)^2\end{bmatrix} \notag \\ &\xrightarrow[]{化为首1多项式} &\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&\lambda(\lambda+1)&0\\ 0&0&\lambda(\lambda+1)^2\end{bmatrix} \notag \\ \end{align}$$

• 计算所有行列式因子

  同上例，有 $D_1(\lambda)=1,D_2(\lambda)=\lambda(\lambda+1),D_3=\lambda^2(\lambda+1)^3$ ，故而 $d_1(\lambda)=1, d_2(\lambda)=\lambda(\lambda+1),d_3(\lambda)=\lambda(\lambda+1)^2$

单位模阵可写成初等矩阵乘积

• 单位模阵的 Smith 型为单位矩阵

  下面给出证明：

  $\boldsymbol{U}(\lambda)$ 是单位模阵 $\Leftrightarrow |\boldsymbol{U}(\lambda)|=c\neq0$ （为非零常数）$\Leftrightarrow\boldsymbol{U}(\lambda)$ 的 $n$ 阶行列式因子为1，且 $r=\text{rank}(\boldsymbol{U})=n$

  又：$D_n(\lambda)=D_1(\lambda)\frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)}\cdots\frac{D_n(\lambda)}{D_{n-1}(\lambda)}=d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_n(\lambda)$

  所以：$d_i(\lambda)=1$ ，证毕

据此，单位模阵经过若干次初等变换后可以变成单位矩阵，写成矩阵的形式即为：

$$\boldsymbol{P}_s(\lambda)\cdots\boldsymbol{P}_1(\lambda)\boldsymbol{U}(\lambda)\boldsymbol{Q}_1(\lambda)\cdots\boldsymbol{Q}_t(\lambda)=\boldsymbol{I}$$

初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，因此：

$$\boldsymbol{U}(\lambda)=\boldsymbol{P}_1^{-1}(\lambda)\cdots\boldsymbol{P}_s^{-1}(\lambda)\boldsymbol{Q}_t^{-1}(\lambda)\boldsymbol{Q}_1^{-1}(\lambda)$$

数域矩阵相似最简型问题

• 特征矩阵：给定 $\boldsymbol{A}\in\mathbb{F}^{n\times n}$ ，称多项式矩阵 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征矩阵

数域矩阵相似 $\Leftrightarrow$ 特征矩阵等价

把一个受约束的相似问题【 $\boldsymbol{AP}=\boldsymbol{PB}$ 行列变换必须配套】转换成了一个不受约束的等价问题【 $\boldsymbol{U}(\lambda)(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{V}(\lambda)=\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}$ 行列变换无需配套】

下面给出证明：

• 多项式矩阵的次数

  若 $\boldsymbol{A}(\lambda) = A_0+A_1\lambda+A_2\lambda^2+\cdots+A_r\lambda^r,\ 且\ A_r\neq0$ ，则称 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的次数为 $r$ ，记作 $\partial(\boldsymbol{A}(\lambda))=r$ 。特别地，零多项式矩阵的次数无意义。

• 多项式矩阵乘积的次数

  $\boldsymbol{A}(\lambda)\boldsymbol{B}(\lambda)=\boldsymbol{C}(\lambda)$，且 $\boldsymbol{A}(\lambda) = A_0+A_1\lambda+\cdots+A_r\lambda^r$ ，若满足：

  ​ 1）三个矩阵均非零（零矩阵的次数无意义）

  ​ 2）$A_r\in \mathbb{F}^{m\times m}$ 可逆（保证 $\boldsymbol{C}(\lambda)$ 的最高次矩阵系数 $C_{r+s}(\lambda)=A_r(\lambda)B_s(\lambda)$ 非零）

  那么 $\partial(\boldsymbol{C}(\lambda))=\partial(\boldsymbol{A}(\lambda))+\partial(\boldsymbol{B}(\lambda))$

• 多项式矩阵的带余除法（以左除为例）：

  $\boldsymbol{A}(\lambda) = A_0+A_1\lambda+\cdots+A_r\lambda^r\in(\mathbb{F}[\lambda])^{m\times m}$ ，若满足 $A_r\in\mathbb{F}^{m\times m}$ 可逆，那么对非零矩阵 $\boldsymbol{B}(\lambda)\in(\mathbb{F}[\lambda])^{m\times n}$ ，存在唯一矩阵 $\boldsymbol{Q}(\lambda), \boldsymbol{R}(\lambda)$ ，使得：$\boldsymbol{B}(\lambda)=\boldsymbol{A}(\lambda)\boldsymbol{Q}(\lambda)+\boldsymbol{R}(\lambda)$ ，其中 $\boldsymbol{R}(\lambda)=\boldsymbol{0}$ 或 $\partial(\boldsymbol{R}(\lambda))<\partial(\boldsymbol{A}(\lambda))$

$\Rightarrow$ ：取 $\boldsymbol{U}(\lambda)=\boldsymbol{P}^{-1},\boldsymbol{V}(\lambda)=\boldsymbol{P}$ ，因为 $\boldsymbol{P}$ 可逆，故行列式为非零常数，满足单位模阵的要求

$\Leftarrow$ ：从 $\boldsymbol{U},\boldsymbol{V}$ 找 $\boldsymbol{P}$

根据多项式矩阵带余除法，因为 $\boldsymbol{I}$ 可逆，所以：

$$\boldsymbol{U}(\lambda)=(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{Q}(\lambda)+\boldsymbol{R}(\lambda)$$

其中：$\boldsymbol{R}(\lambda)=\boldsymbol{0}$ ，或 $\partial(\boldsymbol{R}(\lambda))<\partial(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})=1$ ，即 $\boldsymbol{R}(\lambda)=\boldsymbol{R}\in\mathbb{F}^{n\times n}$ 为常数矩阵。因此：

$$\begin{align} &\boldsymbol{U}(\lambda)(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{V}(\lambda)=\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B} \notag\\ \Leftrightarrow &[(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{Q}(\lambda)+\boldsymbol{R}](\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{V}(\lambda)=\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B} \notag\\ \Leftrightarrow &\boldsymbol{R}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})[\boldsymbol{V}^{-1}(\lambda)-\boldsymbol{Q}(\lambda)(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})] \notag \end{align}$$

比较等式两端变量 $\lambda$ 的系数可知，$\boldsymbol{V}^{-1}(\lambda)-\boldsymbol{Q}(\lambda)(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})$ 也是常数矩阵，记作 $\boldsymbol{S}$ ，故而：

$$\boldsymbol{R}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{S}$$

且由 $\lambda$ 系数知：$\boldsymbol{R}=\boldsymbol{S}$ ，从而有 $\boldsymbol{RA}=\boldsymbol{BR}$ ，只需证 $\boldsymbol{R}$ 可逆即可

要证明可逆，我们期望找出一个矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{RP}=\boldsymbol{I}$ .

考虑到 $\boldsymbol{R}$ 是由矩阵 $\boldsymbol{U}(\lambda)$ 对矩阵 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}$ 作带余除法所得，对应地，也可以有：

$$\boldsymbol{U}^{-1}(\lambda)=(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\widetilde{\boldsymbol{Q}}(\lambda)+\widetilde{\boldsymbol{R}}$$

将方程 (7) (10) 代入 $\boldsymbol{U}(\lambda)\boldsymbol{U}^{-1}(\lambda)=\boldsymbol{I}$ ，整理得：

$$\boldsymbol{R}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\widetilde{\boldsymbol{Q}}(\lambda)+\boldsymbol{R}\widetilde{\boldsymbol{R}}=\boldsymbol{I}-(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{Q}(\lambda)\boldsymbol{U}^{-1}(\lambda)$$

代入方程 (9) ，整理得：

$$\boldsymbol{R}\widetilde{\boldsymbol{R}}=\boldsymbol{I}-(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})[\boldsymbol{Q}(\lambda)\boldsymbol{U}^{-1}(\lambda)+\boldsymbol{S}\widetilde{\boldsymbol{Q}}(\lambda)]$$

比较方程 (12) 两边 $\lambda$ 系数知：$\boldsymbol{R}\widetilde{\boldsymbol{R}}=\boldsymbol{I}$ ，从而 $\boldsymbol{R}$ 可逆。

证毕。

特征矩阵的 Smith 型

因为 $|\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|$ 的最高次项 $\lambda^n$ 的系数必为1，因此，$\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 作为多项式矩阵的秩为 $n$ 。从而它的Smith型矩阵为：

$$\begin{bmatrix} d_1(\lambda)&\\ &\ddots&\\ &&d_n(\lambda) \end{bmatrix}$$

因此：$d_1(\lambda)\cdots d_n(\lambda)=|\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|\Rightarrow\partial(d_1(\lambda))+\cdots+\partial(d_n(\lambda))=n$ 。若某个 $d_i(\lambda)$ 的次数为 $n_i\neq1$ ，那么必将多出 $n_i-1$ 个常数不变因子，根据首1多项式的约定，这些不变因子最终都会化为1。因此上述Smith型矩阵进一步表示为：

$$\begin{bmatrix} 1&&&&&\\ &\ddots&&&&\\ &&1&&&\\ &&&h_1(\lambda)&&\\ &&&&\ddots&\\ &&&&&h_p(\lambda) \end{bmatrix}$$

其中，$\partial(h_i(\lambda))=n_i$ 。假设有 $p$ 个非常数不变因子，那么等于1的不变因子共有 $n-p$ 个，且满足 $n-p=(n_1-1)+\cdots+(n_p-1)$ ，因此将对角线上的元素按一个 $h_i(\lambda)$ ，$n_i-1$ 个1配对进行重组，Smith型矩阵等价于如下矩阵：

$$\left[ \begin{array}{cccc|c|cccc} 1 & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & \\ & & & h_1(\lambda) & & & & & \\ \hline & & & & \ddots & & & & \\ \hline & & & & & 1 & & & \\ & & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & 1 & \\ & & & & & & & & h_p(\lambda) \end{array} \right]$$

每一小块都是 $\begin{bmatrix} 1&&&\\&\ddots&&\\&&1&\\&&&h_i(\lambda)\end{bmatrix}_{n_i\times n_i}$

• 特征矩阵的初等因子组

  初等因子指的是将特征矩阵的所有非常数不变因子在 $\mathbb{F}[\lambda]$ 中作质因式分解时出现的质因式的方幂。所有初等因子组成初等因子组（显然初等因子组中的某个初等因子可能重复出现）。

  $h_i(\lambda)\xlongequal{质因式分解}w_1^{r_{i1}}(\lambda)\cdots w_j^{r_{ij}}(\lambda)$ ，则每个质因式的方幂 $w_j^{r_{ij}}(\lambda)$ 就是一个初等因子，所有方幂组成了特征矩阵的初等因子组。

  （实数域中的质因式包括 $x-c$ 和 $x^2+bx+c,且\ b^2-4c<0$ 两种情况；复数域中的质因式只有 $x-c$ 一种情况）

• 初等因子组与不变因子（行列式因子、初等因子）互相唯一决定

  由不变因子决定初等因子组：根据定义，显然

  ​ 例：已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征矩阵 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 的 Smith型 为：$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(\lambda+1)^2&0\\0&0&\lambda(\lambda+1)^2\end{bmatrix}$

  ​ 显然初等因子组为：$\{(\lambda+1)^2,\lambda, (\lambda+1)^2\}$

  由初等因子组决定不变因子：

  ​ 例：设 $\boldsymbol{A}\in\mathbb{C}^{8\times8}$ ，且初等因子组为：$\{\lambda,\lambda^2,\lambda,(\lambda+1)^2,(\lambda+1)^2\}$ ，求不变因子。

  ​ 由于不变因子满足 $d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)$ 所以最后一个不变因子的次数应该最高且所有质因式都应出现，以此类推：

  $$\begin{align} &d_8(\lambda)=\lambda^2(\lambda+1)^2 \notag \\ &d_7(\lambda)=\lambda(\lambda+1)^2 \notag \\ &d_6(\lambda)=\lambda \notag \\ &d_5(\lambda)=\cdots=d_1(\lambda)=1 \notag \end{align}$$

下面通过对非常数不变因子 $h_i(\lambda)$ 在复数域上作质因式分解，将上述（15）进一步化为一种更特殊的形式

$$h_i(\lambda)=(\lambda-c_1)^{r_1}(\lambda-c_2)^{r_2}\cdots(\lambda-c_k)^{r_k}$$

显然有 $r_1+r_2+\cdots+r_k=n_i$ ，逆用初等因子分解，因为子矩阵 $\begin{bmatrix} 1&&&\\&\ddots&&\\&&1&\\&&&h_i(\lambda)\end{bmatrix}_{n_i\times n_i}$ 有上述 $k$ 个初等因子，所以可以等价于（有相同的初等因子组）：

$$\left[ \begin{array}{cccc|c|cccc} 1 & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & \\ & & & (\lambda-c_1)^{r_1} & & & & & \\ \hline & & & & \ddots & & & & \\ \hline & & & & & 1 & & & \\ & & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & 1 & \\ & & & & & & & & (\lambda-c_k)^{r_k} \end{array} \right]$$

矩阵相似在多项式特征邻域中的各种刻画

若 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\in\mathbb{F}^{n\times n}$ ，则下列结论等价：

1. $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似；
2. $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 与 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}$ 作为多项式矩阵等价；
3. $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 与 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}$ 有相同的 Smith型；
4. $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 与 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}$ 有相同的 不变因子；
5. $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 与 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}$ 有相同的 行列式因子；
6. $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 与 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}$ 有相同的 初等因子组；

例：证明 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{A}^T$ 相似

因为只提供了抽象矩阵，所以适用于具体形式的2/3/4/6方法都不容易处理，因此考虑行列式因子

因为 $(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^T=\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}^T$ ，而矩阵转置行列式不变，因此显然 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 与 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}^T$ 有相同的行列式因子

多项式矩阵等价的证明方法

1. 定义法：初等变换能否转化
2. 相同的行列式因子 / Smith型 / 不变因子 / 初等因子组

Jordan标准型

以下均在复数域上考虑，因而质因式只有 $\lambda-c$ 一种类型。

综合上面所说，特征矩阵可以有如下等价：

$$\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{J}(\lambda)= \begin{bmatrix} \boldsymbol{J}_1(\lambda) &&\\ &\ddots&\\ &&\boldsymbol{J}_q(\lambda) \end{bmatrix}, \boldsymbol{J}_i(\lambda)= \begin{bmatrix} 1 &&& \\ & \ddots && \\ && 1 & \\ &&& (\lambda-c_i)^{r_i} \end{bmatrix}_{r_i\times r_i}$$

其中：$(\lambda-c_i)^{r_i},i=1,…,q$ 是特征矩阵的初等因子组。

从而：$\boldsymbol{A}\longrightarrow\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{J}(\lambda)\sim\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{J}\longleftarrow\boldsymbol{J}$ ，满足这个条件的矩阵都与 $\boldsymbol{A}$ 相似

我们要做的，就是求出其中最简单的矩阵，也就是相似最简型

进一步，这个问题又可以拆分成针对各个子块的类似的问题，即：求一个尽可能简单的矩阵 $\boldsymbol{J}_i\in\mathbb{C}^{r_i\times r_i}$ ，使得 $\lambda\boldsymbol{I}_{r_i}-\boldsymbol{J}_i\sim\boldsymbol{J}_i(\lambda)$

Jordan块的Simth型

若当块：对角线元素全为 $c_1$ ，次对角线元素均为1的矩阵：

$$\boldsymbol{J}_i=\begin{bmatrix} c_1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots& c_1 \end{bmatrix}_{r_i\times r_i}$$

结论：若当块所对应特征矩阵的Simth型即满足 $\lambda\boldsymbol{I}_{r_i}-\boldsymbol{J}_i\sim\boldsymbol{J}_i(\lambda)$

下面给出证明（本质就是证明两个多项式矩阵等价） ：

• 方法一：定义法

$$左边=\begin{bmatrix} \lambda-c_1 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & -1 \\ 0 & \cdots & \cdots& \lambda-c_1 \end{bmatrix}_{r_i\times r_i}$$

• 方法二：计算两边的行列式因子

由于左边的 $r_i-1$ 阶行列式中有一个是1（右上角子块），所以左边矩阵的 $r_i-1$ 阶最高公因式只能是1，即左边矩阵的 $r_i-1$ 阶行列式因子为1。

从而所有比它低阶的行列式因子也只能是1，因为 $D_{i-1}(\lambda)$ 必须整除 $D_{i}(\lambda)$ 。

而左侧行列式等于右侧行列式，即左侧 $r_i$ 阶行列式因子与右侧相同。

故而两边矩阵的任意阶行列式因子都相同，从而矩阵等价。

综上所述，有如下定理：

给定矩阵 $\boldsymbol{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ，其特征矩阵 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 的初等因子组为：$(\lambda-c_1)^{r_1},\cdots,(\lambda-c_q)^{r_q}$ ，取

$$\boldsymbol{J}_i=\begin{bmatrix} c_i & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots& c_i \end{bmatrix}_{r_i\times r_i}$$

则 $\boldsymbol{A}$ 的相似最简型为：

$$\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{J}= \begin{bmatrix} J_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & J_q \end{bmatrix}$$

而 $\boldsymbol{J}$ 就是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan标准型