向量矩阵运算

这章介绍Eigen中矩阵、向量和标量之间的运算。对Matrix类，运算符重载仅支持线性代数运算，例如矩阵x矩阵，而像向量+标量的操作是不允许的。Array类则允许执行所有的数组操作，见 The Array Class and Coefficient-wise Operations 。

加减法

Eigen不会自动执行类型转换，所以左右维度和数值类型必须保证相同。可用的操作符包括：

一元操作符 - : -a
二元操作符 + - : a+b, a-b
复合操作符 += -= : a+=b, a-=b

标量乘除

矩阵所有系数乘/除以该标量。可用操作符包括：

二元操作符 * : matrix scalar, scalar matrix
二元操作符 / : matrix / scalar
复合操作符 *= /= : matrix *= scalar, matrix /= scalar

转置与共轭

transpose() : $\boldsymbol{a}^T$ （转置）
conjugate() : $\overline{\boldsymbol{a}}$ （共轭）
adjoint() : $\boldsymbol{a}^*$ （共轭转置）

显然，对实矩阵而言，conjugate() 并不执行什么操作，所以 adjoint() 完全等同于 transpose() 。

需要非常注意的一点是，基本运算符 transpose() 和 adjoint() 仅仅返回一个代理对象，而并未进行实质的运算。例如，执行 b = a.transpose() 时，Eigen在将结果写入b的同时执行转置；从而引出另一个问题，如果执行 a = a.transpose() ，Eigen同样会在转置完成前开始将结果写入矩阵a，因此这句话不会像预期一样将a变为它的转置，反而会在执行过程中得到 aliasing issue

#include <iostream>
#include <eigen3/Eigen/Eigen>

using namespace std;

int main()
{
    Eigen::Matrix3i a;
    Eigen::Matrix3i b;
    a << 1, 2, 3,
        4, 5, 6,
        7, 8, 9;
    cout << "origin matrix a:\n"
         << a << endl;

    b = a.transpose();
    cout << "b as the transpose of matrix a:\n"
         << b << endl;

    a = a.transpose(); // !!! DO NOT DO THIS !!!
    cout << "Here is the result of the aliasing effect:\n"
         << a << endl;

    return 0;
}

输出：

origin matrix a:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
b as the transpose of matrix a:
1 4 7
2 5 8
3 6 9
main: /usr/include/eigen3/Eigen/src/Core/Transpose.h:378: static void Eigen::internal::checkTransposeAliasing_impl<Derived, OtherDerived, MightHaveTransposeAliasing>::run(const Derived&, const OtherDerived&) [with Derived = Eigen::Matrix<int, 3, 3>; OtherDerived = Eigen::Transpose<Eigen::Matrix<int, 3, 3> >; bool MightHaveTransposeAliasing = true]: Assertion `(!check_transpose_aliasing_run_time_selector <typename Derived::Scalar,blas_traits<Derived>::IsTransposed,OtherDerived> ::run(extract_data(dst), other)) && "aliasing detected during transposition, use transposeInPlace() " "or evaluate the rhs into a temporary using .eval()"' failed.
Aborted (core dumped)

所谓混叠问题，即 aliasing issue ，指的是在赋值表达式的左右两边存在矩阵的重叠区域，这种情况下，有可能得到非预期的结果，具体见 Aliasing 。

如果想执行就地转置（in-place transposition），调用 transposeInPlace() 方法：

1
2
3

a.transposeInPlace();
cout << "After being transposed:\n"
     << a << endl;

输出：

After being transposed:
1 4 7
2 5 8
3 6 9

同理，也有为复矩阵准备的就地共轭转置 adjointInPlace() 方法

矩阵-矩阵乘法乘法

向量是一种特殊的矩阵，因此矩阵-向量、向量-向量乘法也包括其中。可用操作符有：

二元操作符 * : a*b
复合操作符 *= : a*=b

执行操作 m = m * m 是安全的，因为Eigen将矩阵乘法当作一种特殊形式进行处理，会在编译时引入一个临时变量，所以不必担心会出现 aliasing issue：

1 2	tmp = m * m; m = tmp;

当然，如果你很清楚自己的矩阵乘法不会有引起 aliasing issue 的可能，也可以调用 noalias() 方法来避免引入临时变量：

1	c.noalias() += a*b;

向量点乘和叉乘

dot() 和 corss() 方法分别实现向量点乘和叉乘，当然，点乘也可以通过 u.adjoint()*v 实现，只不过返回的结果是个1x1的矩阵：

#include <iostream>
#include <eigen3/Eigen/Eigen>

using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
    Vector3d v(1, 2, 3);
    Vector3d w(0, 1, 2);

    cout << "Dot product: " << v.dot(w) << endl;
    double dp = v.adjoint() * w; // automatic conversion of the inner product to a scalar
    cout << "Dot product via a matrix product: " << dp << endl;
    cout << "Cross product:\n"
         << v.cross(w) << endl;
    return 0;
}

输出：

Dot product: 8
Dot product via a matrix product: 8
Cross product:
 1
-2
 1

需要非常注意的是，叉乘只能用于大小为3的向量；点乘则可用于任意大小的向量

基本算数归约运算

Eigen提供了一些归约运算（reduction operation），将给定的矩阵或向量归约为单个值，例如 sum() , prod() , maxCoeff() , minCoeff() , trace() 分别表示所有矩阵系数的和、积、最大值、最小值，以及矩阵的迹，矩阵的迹也可以通过 m.diagonal().sum() 求得。

通过向 maxCoeff() 或 minCoeff() 中传入 std::ptrdiff_t 类型的参数指针，可以得到对应最大值/最小值的坐标：

#include <iostream>
#include <eigen3/Eigen/Eigen>

using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
    Matrix3f m = Matrix3f::Random();
    std::ptrdiff_t i, j;
    float minOfM = m.minCoeff(&i, &j);
    cout << "Here is the matrix m:\n"
         << m << endl;
    cout << "Its minimum coefficient (" << minOfM
         << ") is at position (" << i << "," << j << ")\n\n";

    RowVector4i v = RowVector4i::Random();
    int maxOfV = v.maxCoeff(&i);
    cout << "Here is the vector v: " << v << endl;
    cout << "Its maximum coefficient (" << maxOfV
         << ") is at position " << i << endl;
    return 0;
}

输出：

Here is the matrix m:
 0.680375   0.59688 -0.329554
-0.211234  0.823295  0.536459
 0.566198 -0.604897 -0.444451
Its minimum coefficient (-0.604897) is at position (2,1)

Here is the vector v:  115899597  -48539462  276748203 -290373134
Its maximum coefficient (276748203) is at position 2

操作有效性

Eigen会在执行操作的时候检查有效性。

重要的编译错误信息会用大写突出出来。

但更多时候（例如检查动态大小的矩阵的操作），编译过程不会检查出错误。Eigen将在 debug mode 下使用 runtime assertions 让程序在运行过程中碰到非法操作的时候退出，同时报出错误信息。如果关掉assertions，程序很有可能会崩溃。